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In mwbamatematica gli mwbqinfinitesimi sono delle entità numeriche infinitamente piccole, introdotte da mwbgGottfried Leibniz che ne fece il fondamento del mwbwcalcolo infinitesimale.

Gli infinitesimi permettono di risolvere in modo generale problemi come quello della mwcqvelocità istantanea in mwcgfisica e quello della mwcwtangente a una mwdacurva in mwdqgeometria, entrambe viste come rapporto tra infinitesimi, mwdgalias mwdwderivata.

Anche il problema del calcolo di mweqaree con contorno curvilineo, ovvero dell'area sottesa al mweggrafico di una funzione, si affronta con l'uso degli infinitesimi. L'area è infatti vista come la somma di infinite aree infinitesime, un procedimento di somma che ebbe il nome di mwewintegrale.

Gli infinitesimi davano però luogo a problemi logici e nel mwfqXIX secolo mwfgAugustin-Louis Cauchy e mwfwKarl Weierstrass rifondarono l'mwgaanalisi matematica eliminandone ogni riferimento; derivate e integrali venivano così ad essere definiti come mwgqlimiti e non come rapporti o somme di entità infinitesime.

Nella seconda metà del mwgwXX secolo gli infinitesimi sono stati recuperati, in una prospettiva rigorosa, da mwhaAbraham Robinson, nella formulazione di quella che lui chiamò mwhqanalisi non standard.

• Gli infinitesimi di Leibniz

• Gli infinitesimi nell'analisi non standard di Robinson

• Il simbolo di infinitesimo

• Bibliografia

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Leibniz fonda il suo calcolo sugli infinitesimi un po' come la sua filosofia è fondata sulle mwjqmonadi. Non dà però una definizione rigorosa di questi nuovi numeri e, pur nell'uso disinvolto, egli sembra oscillare tra una concezione mwjgmwjwattuale (gli infinitesimi sono enti matematici effettivi) e una mwkamwkqpotenziale (gli infinitesimi esprimono semplicemente un avvicinamento infinito allo zero), distinzione che risale ad mwkgAristotele, il quale aveva per primo distinto l’infinito “attuale” (non esistente) dall’infinito “potenziale”. (Nel Novecento, anche i matematici seguaci dell’mwkwintuizionismo, contrariamente a quanto sostenuto dalla mwlateoria degli insiemi di mwlqGeorg Cantor, negheranno l’esistenza dell’infinito “attuale”).

Due proprietà sono chiare a Leibniz e sono alla base del suo calcolo:

1. gli infinitesimi sono minori di qualsiasi mwmqnumero reale positivo eppure ancora maggiori di zero;

2. per gli infinitesimi valgono le ordinarie regole dell'algebra.

Su queste proprietà si basa il mwnacalcolo infinitesimale nella formulazione di Leibniz.

In logica si dimostra (mwoaTeorema di compattezza) che se esiste un mwoqinsieme infinito di proposizioni, nel quale ogni sottoinsieme finito contiene solo proposizioni vere in un insieme mwog U {\displaystyle U} (nel nostro caso mwow R {\displaystyle \mathbb {R} } ), allora esiste un insieme non-standard mwpa U ∗ ∗ {\displaystyle U^{*}} (in questo caso mwpq R ∗ ∗ {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} ) di elementi per i quali queste infinite proposizioni sono contemporaneamente vere.

Per esempio consideriamo il seguente insieme infinito di proposizioni relative all'insieme mwpw R {\displaystyle \mathbb {R} } dei numeri reali.

mwqg ∃ ∃ x ∈ ∈ R : 0 < x < 1 , {\displaystyle \exists x\in \mathbb {R} :0<x<1,}

mwrq ∃ ∃ x ∈ ∈ R : 0 < x < 1 2 , {\displaystyle \exists x\in \mathbb {R} :0<x<{1 \over 2},}

mwsa ∃ ∃ x ∈ ∈ R : 0 < x < 1 3 , {\displaystyle \exists x\in \mathbb {R} :0<x<{1 \over 3},}

mwsw ⋮ ⋮ {\displaystyle \qquad \vdots }

mwtg ∃ ∃ x ∈ ∈ R : 0 < x < 1 n , {\displaystyle \exists x\in \mathbb {R} :0<x<{1 \over n},}

mwuq ⋮ ⋮ {\displaystyle \qquad \vdots }

In mwuw R {\displaystyle \mathbb {R} } queste proposizioni sono individualmente tutte vere, e questo vale anche per ogni mwvainsieme finito di proposizioni, ma non esiste alcun numero reale mwvq x {\displaystyle x} per il quale siano contemporaneamente tutte vere.

Il teorema di compattezza ci assicura però che esiste un insieme non-standard mwvw R ∗ ∗ {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} che contiene elementi mwwa d x {\displaystyle dx} per i quali questo avviene, in altre parole per i quali è vera la proposizione universale:

mwww ∃ ∃ d x ∈ ∈ R ∗ ∗ : ∀ ∀ n ∈ ∈ N : 0 < d x < 1 n . {\displaystyle \exists \,dx\in \mathbb {R} ^{*}:\forall n\in N:0<dx<{1 \over n}.}

I mwxq d x {\displaystyle dx} di mwxg R ∗ ∗ {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} altro non sono che gli infinitesimi di Leibniz, finalmente definiti in modo rigoroso. La somma di un numero reale e di un infinitesimo non è riducibile e prende il nome di mwxwnumero iperreale.

Come spesso avviene in matematica, esistono diversi simboli per rappresentare gli infinitesimi:

1. il simbolo di Leibniz: una mwza d {\displaystyle d} seguita dal nome della variabile mwzq ( x , y , z , … … ) {\displaystyle (x,y,z,\ldots )} ; per esempio mwzg d x {\displaystyle dx} , mwzw d y {\displaystyle dy} , che si leggono mwaade ics, mwaqde ipsilon;

2. il simbolo di Leibniz con il mwaw Δ Δ {\displaystyle \Delta } (delta) al posto della mwba d {\displaystyle d} : per esempio mwbq Δ Δ x {\displaystyle \Delta x} , mwbg Δ Δ y {\displaystyle \Delta y} ;

3. la lettera ε: simbolo usato nell'analisi non standard per analogia con il simbolo ε introdotto da Weierstrass per indicare numeri reali positivi piccoli a piacere (ma non infinitesimi);

4. il simbolo mwcqhype formato da due cerchietti concentrici, una sorta di doppio zero.

• mwdqAbraham Robinson, mwdgNon-standard Analysis, Princeton University Press, ISBN 0-691-04490-2.

• mweqCarl B.Boyer, mwegThe History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover, ISBN 0-486-60509-4.

• mwfqRichard Courant - mwfgHerbert Robbins, mwfwmwgaChe cos'è la matematica?, Universale Bollati Boringhieri, ISBN 88-339-1200-0, Cap.9 $12, pag. 620.

• James M.Henle - Eugene M. Kleinberg, mwhqInfinitesimal calculus, Dover, ISBN 0-486-42886-9.

Altri progetti

• Wikiquote

• Wikiquote contiene citazioni sull'infinitesimo

• citerefenciclopedia-della-matematicaInfinitesimo, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

• citerefbritannica-com(EN) infinitesimal, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

• citerefspringereom(EN) Infinitesimo, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

• mwjqIntroduzione all'analisi non-standard e mwjgUn modello dei numeri iperreali di Riccardo Dossena, entrambi scaricabili da mwka